Latihan Soal I

Soal 1

Nyatakan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini termasuk dalam statistika deskriptif atau inferensia statistik:

• Akibat penurunan produksi minyak oleh negara- negara penghasil minyak, maka diramalkan harga minyak akan menjadi dua kali lipat pada tahun yang akan datang.

Jawaban: Inferensia statistik

• Sekurang-kurangnya 5% dari semua kebakaran yang dilaporkan tahun lalu di sebuah kota tertentu diakibatkan oleh tindakan sengaja orang-orang yang tidak bertanggung jawab.

Jawaban: Statistika deskriptif

• Sebanyak 60%  di antara semua pasien yang menerima obat tertentu, ternyata kemudian menderita akibat sampingannya.

Jawaban: Statistika deskriptif

• Dengan mengasumsikan bahwa kerusakan akibat musim dingin yang lalu pada tanaman kopi jenis Columbia kurang dari 20%, maka diramalkan kenaikan harganya di akhir tahun nanti tidak akan lebih dari 30 sen per kilogramnya.

Jawaban: Inferensia statistik

• Salah satu hasil pol pendapat yang dilakukan baru-baru ini adalah bahwa kebanyakan orang Amerika menyetujui didirikannya pusat tenaga nuklir yang baru.

Jawaban: Inferensia statistik

Soal 2

Di suatu daerah perumahan baru tercatat 12 rumah berbentuk kolonial, 4 Tudor, 5 pedalaman Perancis, dan 9 bentuk rancangan kontemporer. Nyatakan kesimpulan berikut, yang ditarik berdasarkan data di atas, termasuk dalam statistika deskriptif atau inferensia statistik:

• Di daerah pemukiman baru lebih banyak dibangun rumah berbentuk kolonial daripada rancangan-rancangan lain.

Jawaban: Inferensia statistik

• Setelah bentuk kolonial, penghuni di sini menyenangi bentuk kolonial daripada rancangan-rancangan lain.

Jawaban: Inferensia statistik

• Bentuk kolonial melebihi Tudor dengan perbandingan 3 banding 1.

Jawaban: Statistika deskriptif

• Sekurang-kurangnya 30% di antara semua rumah yang baru dibangun mengambil rancangan kontemporer.

Jawaban: Statistika deskriptif

• Jika kecenderungan yang ada ini terus berlanjut, perusahaan real estate akan membangun lebih banyak rumah kontemporer daripada rumah kolonial dalam lima tahun mendatang.

Jawaban: Inferensia statistik

Soal 3 

Definisikan suatu populasi bagi contoh-contoh berikut ini:

• Penghuni 200 rumah di kota Richmond dihubungi melalui telepon dan ditanya siapa calon yang mereka sukai untuk menduduki jabatan walikota.

Jawaban: Populasinya adalah respons seluruh warga kota Richmond

• Sekeping mata uang ditos 100 kali dan ternyata sisi angka muncul 34 kali.

Jawaban: Populasinya adalah seluruh percobaan tos mata uang sebanyak 100 kali

• Dua ratus pasang sepatu tenis jenis baru diuji, dan ternyata rata-rata umurnya mencapai 4 bulan.

Jawaban: Umur sepatu tenis yang dipakai

• Dari lima kali pencacatan, untuk mencapai kantornya di tengah kota, seseorang memerlukan waktu 21, 26, 24, 22, dan 21 menit.

Soal 4

Pada suatu hari libur akhir pekan, banyaknya denda yang dijatuhkan 8 orang polisi lalu lintas masing-masing adalah 5, 4, 7, 7, 6, 3, 8, dan 6 kali.

• Seandainya nilai-nilai itu menyatakan frakuensi denda yang dijatuhkan di Virginia oleh 8 orang polisi lalu lintas dari Montgomery County yang diambil secara acak, tentukan populasinya.

Jawaban: Seluruh frekuensi denda yang dijatuhkan di Virginia dari polisi lalu lintas di Montgomery

• Seandainya nilai-nilai itu menyatakan frakuensi denda yang dijatuhkan oleh 8 orang polisi lalu lintas dari South Carolina yang diambil secara acak, tentukan populasinya.

Jawaban: Seluruh frekuensi denda yang dijatuhkan oleh polisi lalu lintas dari South Carolina

Soal 5

Uraikanlah:

• $\sum_{i=6}^{10}w_{i}^{2}$

Jawaban:

$\sum_{i=6}^{10}w_{i}^{2}$

$=w_{6}^{2}+w_{7}^{2}+w_{8}^{2}+w_{9}^{2}+w_{10}^{2}$ 

• $\sum_{i=6}^{10}w_{i}^{2}$

Jawaban:

$\sum_{h=2}^{4}(x_{h}+h)$

$=x_{2}+h+x_{3}+h+x_{4}+h$

$=x_{2}+x_{3}+x_{4}+3h$ 

• $\sum_{j=1}^{5}3(v_{j}-2)$

Jawaban:

 $\sum_{j=1}^{5}3(v_{j}-2)$

$=3 \sum_{j=1}^{5}3(v_{j}-2)$

$=3 (v_{1}-2+v_{2}-2+v_{3}-2+v_{4}-2+v_{5}-2)$

$=3 (v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}+v_{5}-10)$

$=3 v_{1}+3 v_{2}+3 v_{3}+3 v_{4}+3 v_{5} - 30)$ 

Notasi Penjumlahan

    Perhatikan sebuah percobaan yang mengamati turunnya bobot badan selama periode 6 bulan. Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika yang pertama kita lambangkan dengan $x_{1}$ = 15, $x_{2}$ = 10, $x_{3}$ = 18, dan $x_{4}$ = 6.

    Dengan menggunakan huruf Yunani $\sum$  (sigma kapital) untuk menyatakan "penjumlahan", kita dapat menuliskan empat perubahan bobot tersebut sebagai

\[\sum_{i=1}^{4}x_{i},\]

yang kita baca "penjumlahan $x_{i}$, $i$ dari 1 sampai 4". Bilangan 1 dan 4 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas penjumlahan. Oleh karena itu

\[\sum_{i=1}^{4}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\]

\[=15+10+18+6=49.\]

    Bila kita menjumlahkan untuk semua $x_{i}$ yang ada, kedua batas penjumlahan sering dihilangkan, kita cukup menuliskan $\sum x_{i}$. Jika dalam percobaan diit disebutkan di atas hanya 4 orang, maka $\sum x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$.

Tiga dalil dalam aturan dasar notasi penjumlahan:

Dalil 1

Penjumlahan jumlah dua atau lebih peubah yang sama dengan jumlah masing-masing penjumlahannya. Jadi

\[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i}+z_{i})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i=1}^{n}y_{i}+\sum_{i=1}^{n} z_{i}\] 

Dalil 2

Jika c adalah suatu konstanta, maka

\[\sum_{i=1}^{n}cx_{i}=c\sum_{i=1}^{n}x_{i}\] 

Dalil 3

Jika c adalah suatu konstanta, maka

\[\sum_{i=1}^{n}c=nc\] 

source:  Ronald E. Wallpole / Pengantar Statistika

Populasi dan Sampel

    Keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita, baik terhingga maupun takhingga, menyusun apa yang disebut populasi. Definisi dari populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita. Banyaknya pengamatan atau anggota suatu populasi disebut ukuran populasi. Seandainya ada 600 siswa di sekolah itu yang kita golongkan menurut golongan darahnya, maka dikatakan kita mempunyai populasi berukuran 600. Bilangan-bilangan yang dituliskan pada sekumpulan kartu, tinggi badan penduduk suatu kota, dan panjang ikan di sebuah danau, adalah contoh populasi terhingga. Percobaan pelemparan dadu merupakan contoh populasi takhingga. Begitu pula, pengamatan yang diperoleh dari pengukuran tekanan udara setiap hari di masa lalu hingga waktu mendatang, atau semua pengukuran kedalaman sebuah danau dari segala posisi yang dapat diambil, adalah gambaran mengenai populasi takhingga.

    Dalam inferensia statistik kita ingin memperoleh kesimpulan mengenai populasi, meskipun kita tidak mungkin atau tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu yang menyusun populasi. Misalnya saja, dalam usaha menentukan umur rata-rata suatu lampu pijar jenis tertentu, adalah tidak mungkin untuk menguji semua lampu pijar kalau kita masih ingin menjualnya. Biaya yang besar lebih sering menjadi faktor penghalang untuk mengamati semua anggota populasi. Oleh karena itu, kita terpaksa menggantungkan pada sebagian anggota populasi untuk membantu kita menarik kesimpulan mengenai populasi tersebut. Sehingga kita membutuhkan yang namanya sampel.

    Sampel (contoh) adalah suatu himpunan bagian dari populasi. Kalau kita menginginkan kesimpulan dari sampel terhadap populasi menjadi sah, kita harus mendapatkan sampel yang mewakili. Kita sering tergoda untuk mengambil anggota populasi yang memudahkan kita. Cara demikian dapat membawa pada kesimpulan yang salah mengenai populasi. Prosedur pengambilan sampel yang menghasilkan kesimpulan yang konsisten terlalu tinggi atau terlalu rendah mengenai suatu ciri populasi dikatakan berbias. Untuk menghilangkan kemungkinan bias ini, kita perlu mengambil sampel acak sederhana, atau lebih singkat lagi sampel acak.

    Suatu sampel (contoh) acak sederhana n pengamatan adalah suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa sehingga setiap himpunan bagian yang berukuran n dari populasi tersebut mempunyai peluang terpilih yang sama. Untuk populasi terhingga yang kecil, proses pengambilan sampel acak sederhana relatif mudah; namun dengan semakin besarnya populasi, proses ini menjadi semakin rumit.

source:  Ronald E. Wallpole / Pengantar Statistika

Statistika

Dalam mempelajari statistika, kita pada dasarnya berkepentingan dengan penyajian dan penafsiran kejadian yang bersifat peluang yang terjadi dalam suatu penyelidikan terencana ataupun penelitian ilmiah. Misalnya kita mencatat berapa kali terjadi kecelakaan per bulan di persimpangan jalan, untuk mendapatkan alasan perlunya dipasang lampu lalu lintas; atau kita mencatat berupa respons berupa "ya" atau "tidak" dalam suatu pol pendapat; atau kita meneliti banyaknya endapan yang terbentuk dalam suatu reaksi kimia. Jadi statistikawan biasanya bekerja dengan data numerik yang berupa hasil cacahan  ataupun hasil pengukuran, atau mungkin dengan data kategorik yang diklasifikasikan menurut kriteria tertentu.

Kita akan menyebutkan setiap informasi yang tercatat, apakah itu numerik atau kategorik, sebagai pengamatan. Jadi misalnya bilangan-bilangan 3, 1, 0, dan 2 yang menyatakan berapa kali terjadi kecelakaan di bulan-bulan Januari, Februari, Maret dan April pada tahun lalu di suatu persimpangan jalan, merupakan segugus pengamatan. Begitu pula, hasil pengukuran 2.5, 3.1, dan 1.8 gram endapan kimia, merupakan segugus pengamatan.

Metode statistik adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis, dan penafsiran data. Kita akan mengelompokkan metode-metode tersebut ke dalam dua kelompok besar, yaitu statistika deskriptif dan inferensia statistik.

Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Perlu kiranya dimengerti bahwa statistika deskriptif memberikan informasi hanya mengenai data yang dipunyai dan sama sekali tidak menarik kesimpulan apapun tentang gugus data induknya yang lebih besar. Penyusunan tabel, diagram, grafik, dan besaran-besaran lain termasuk dalam kategori statistika deskriptif ini.

Inferensia statistik mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data induknya. Generalisasi yang berhubungan dengan inferensia statistik selalu mempunyai sifat tidak pasti, karena kita mendasarkan pada informasi parsial yang diperoleh dari sebagian data. Untuk memperhitungkan ketidakpastian ini, pengetahuan tentang teori peluang mutlak diperlukan.

source:  Ronald E. Wallpole / Pengantar Statistika